Session normale 2018

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On considère les points `A(0,-2,-2)` , `B(1,-2,-4)` , `C(-3,-1,2)`

1) a) Montrer que `vec(AB)` ^ `vec(AC) = 2vec(i)+2vec(j)+k`

b) Montrer que l'equation du plan `(ABC)` est `2x+2y+z+6 = 0 `

2) On considère la sphère d'équation `x^2+y^2+z^2-2x-2z-23 = 0 `

Montrer que le centre de `S` est `Omega(1,0,1)` et le rayon `R= 5 `

3) a) Montrer que la représentation paramétrique de la droite `Delta` , passant par `Omega` et
perpendiculaire au plan `(ABC)` est

`x= 1+2t`
`y=2t` , ` t in R `
`z=1+t`

b) Déterminer les cordonnées du point `H` intersection de `Delta` et le plan `ABC`

4) Vérifier que `d(Omega, (ABC))= 3` , puis montrer que `(ABC)` coupe la sphère selon un cercle de rayon `r= 4 ` et de centre `omega` du'on déterminera ses coordonnées